【摘要】 为有效地重现立体数字信息，本文提出一种离散傅立叶变换DFT（Discrete Fourier Transform）域三维滤波器的设计方法。此方法充分考虑了各种三维频率分布和时域分布的因素，把DFT、全相位信号处理、频谱分析等性质结合了起来，构造出性能较好的三维滤波器。弥补了部分现有的用二维方法解决三维滤波问题的不足，具有理论价值和应用前景。
【关键词】 三维滤波器； 立体数字信息； 全相位； DFT
Design of 3-dimensional filter in DFT domain to restore
stereo digital informationHUANG Xiangdong， WANG Zhaohua
(School of Electronics and Information Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China)
Abstract: To restore stereo digital information effectively, this paper presents a method to design a novel 3-dimensional filter. With all sorts of 3-D factors in frequency domain and time domain being taken into account, an excellent 3-D filter can be constructed by synthesizing the properties of DFT, all-phase signal processing, spectral analysis etc. Moreover, the proposed algorithm is of highly application value for it overcomes parts of the drawbacks in utilizing 2-D method to solve 3-D filtering problems.
Key words: 3-dimentional filter; stereo digital information; all-phase; DFT
随着图像和视频信息技术的发展，人们对欣赏视频图像的要求越来越高，并进一步要求在观赏时产生身临其境的感觉，因而三维立体图像处理技术就成为当前研究热题。然而，二维图像信息量已是十分巨大，三维数字图像信息量就更为庞大了,这就对信息的存储空间和实时处理提出更高的要求。
与二维图像信息一样，立体信息也存在其相关性，而且比二维信息多了一个方向的相关性，从而立体图像信息相比平面图像信息存在更多的冗余。这就使得可在不影响图像质量情况下，降低其三维图像数据的分辨率进行编码、传输或其他处理，而要恢复其完整数字信息时，需借助三维数字滤波器给予恢复，这就涉及到三维滤波器的设计问题。
然而，目前学术界对立体图像的滤波却仍停留在二维滤波的层次，如文献［1］提出的基于小二乘二维滤波算法的立体图像压缩方法、文献［2］提出的基于用正交子空间更新的二维滤波方案的立体图像的压缩方法等。用二维方法对立体图像进行滤波显然是一种不直接的方式，没有根本把握图像滤波的本质。事实上，早在上世纪80年代末，王兆华教授就研究过立体数字信息的压缩和重构问题［3］，还分析了立体数字信息的序谱特性，并在Walsh变化域完成了三维数字滤波器的设计。由于Walsh变换的基函数是阶梯型函数，而图像信息显然与阶梯型数据存在较大差别，这就使得滤波器性能受到较大影响，因而需要在其他正交变换域进行三维滤波器设计。本文在基于近研究的“全相位数字信号处理［4,5］”成果的基础上，在DFT域进行了三维滤波器的设计尝试，把加窗和重叠滤波措施结合起来，取得较好的效果。
1 立体图像的三维谱特性
信号的傅立叶变换就构成了信号的傅立叶频谱：对一维信号做傅立叶变换可得到其一维频谱，对二维图像做二维傅立叶变换可得到其二维平面谱，而对三维立体图像做三维傅立叶变换就可得到其三维空间频谱。
由于信号所包含信息的冗余性，在时域内连续均匀的信号，一般说来，在其频谱图内却是分布集中的。图1分别给出了一般的二维图像信号和立体图像的频谱分布示意图：
图1 图像频谱分布示意图
图1表明，二维平面图像的频谱 (阴影所示)主要集中在矩形的四个角上，三维立体图像的频谱则集中在立方体的八个角上,大部分区域(图1的空白区域) 都没有表示有效信息而浪费了, 而立体图像情况(图1b)比平面图像(图1a)还严重得多。
因而可降低立体图像的空间分辨率(也就是对图像数据进行下采样抽取)而不丢失图像信息，式(1)用矩阵的形式给出了2种抽取光栅结构 (“1”表示保留，“0”表示舍弃)e0=1
(1)这样经抽取后，数据量减少3/4,便于传输和处理。根据多采样率信号处理理论，采样率变化后信号频谱也会随之改变，低频区域的频谱会以“镜像频谱”被复制到高频区域(即图1b空白区域)。因而需设计三维滤波器将镜像频谱滤除，重构出原图像信号。
2 三维DFT域全相位滤波器的设计
本节采用基于“全相位滤波”的方法进行三维滤波器设计。全相位方法是考虑了包含某样点的所有N种截断情况的滤波器设计法［5,6］，不需要任何优化措施和迭代步骤即可获得较好的滤波性能，因而算法简单；另外，全相位滤波器是从频域出发进行设计的［5,6］，对于三维情况，首先需设置N个二维频域矩阵Lk(k=0,…, N-1)，以N=4为例：Lk=l00k
l03k l13k l23k l33k.(2) 为使滤波器具备线性相位特性，要求满足：lm,n,k= lN-m,N-m,k, m,n,k=0,…,N-1.(3) 另外，为表征频域特性在空间谱的连续对称特点，需满足：lm,n,k= lk,n,m, m,n,k=0,…,N-1.(4) 令N阶离散傅立叶变换矩阵为W，则其逆变换矩阵为W*/N (其中“*”表示共轭)，先求Lk的二维逆傅立叶变换(如式(5)所示)：Sk=1 N2W*·Lk·W*, k=0,1,…,N-1.(5) 假设Sk如式(6)的矩阵所示：Sk=t00k t10k t20k t30k
k=0,…,N－1. 为在三维空间从不同方向观察滤波器冲激响应，将式(6) 按照另一个下标组成另一个矩阵组S′i：S′i=ti00 ti10 ti20 ti30
i=0,…,N-1. 再对S′i作第三个方向的逆傅立叶变换(IDFT)：li=1 N·Li·W*, i=0,1,…,N-1. (8) 矩阵组{li}所组成的三维数据，就是频域矩阵Lk在时域对应的冲激响应，然而文献［7］指出，这种直接从反傅立叶变换得到的冲激响应，其性能是很差的；这可通过“重叠处理”(加权的重叠处理措施即为“全相位”措施) 来给予改善。为此，需要构造一个(2N-1)×N的重叠加权矩阵P。
为构造重叠加权矩阵，文献［5］指出，需设定一长度为N的前窗序列f和后窗序列b，将b翻转后再与f卷积可得长度为2N-1的卷积窗wc：wc(n)=f(n)×b(-n).(9) 由卷积窗wc即可构造重叠加权矩阵P：P=0 wc(－3) 0 0
观察{Mj, j=-3,-2,-1,0,1,2,3}可看出平面模板Mj内部的数据分布具有中心对称性;而各平面模板Mj间的数据分布具有很强的立体对称性 (在上、下、前、后、左、右6个方向上关于M0的元素256中心对称)：如M0的中心元素为256,模板内部相邻的元素值为144，由于M0和M1在立体空间内是紧挨的，因而M1的中心元素也为144；而M0的中心元素相隔1个象素的元素值为64，则与M0相隔一个平面的模板M2的中心元素值也为64；另外，还可发现M0右半部分的四列元素，分别依次组成了M0~M3的中心列的元素。
需指出，滤波器特性可通过加窗来改善，只需更换式(11)的重叠加权矩阵P即可。另外，其他尺寸和频率特性的三维滤波器也可按类似方法设计。
4 结束语
本文提出用于立体数字信息恢复的DFT域的三维滤波器的设计方法，此方法将DFT、全相位信号处理等性质综合起来，弥补了部分现有的用二维滤波方法解决三维滤波问题的不足，在立体图像和视频的编码、传输等处理应用中有较高实用价值。
【参考文献】
［1］ Seo SH, Azimi-Sadjadi, MR, Tian B. A least-squares- ba[x]sed 2-D filtering scheme for stereo image compression ［J］. IEEE Transactions on Image Processing, 2000，9(11): 1967-1972.
［2］ Seo SH, Azimi-Sadjadi, MR. A 2-D filtering scheme for stereo image compression using sequential orthogonal subspace updating［J］. IEEE Transactions，Cir Sys Video Technol, 2001,11(1):52-66.
［3］ 王兆华. 立体数字信息的压缩和重构［J］.电子学报，1988, 16(4): 40-46.
［4］ 黄翔东. 全相位数字信号处理［D］. 天津：天津大学，2006.
［5］ 黄翔东，王兆华.基于两种对称频率采样的全相位FIR滤波器设计［J］.电子与信息学报，2007，29(2): 478-481.
［6］ 王兆华, 侯正信, 苏飞. 全相位数字滤波［J］. 信号处理, 2003, 19:1-4(增刊).
［7］ 黄翔东，王兆华，李文元. 二维加窗全相位图像滤波模板的设计［J］. 中国图像图形学报，2006，11(6):811-817.
